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第一单元分数乘法
一、分数乘法
「一」分数乘法的意义：
1、分数乘整数与整数乘法的意义相同。都是求几个相同加数的和的简便运算。
例如：65×5表示求5个65的和是多少? ×5表示求5个的和是多少?
2、一个数乘分数的意义是求一个数的几分之几是多少。
例如：×表示求的是多少。
4×表示求4的是多少.
「二」、分数乘法的计算法则：
1、分数与整数相乘：分子与整数相乘的积做分子，分母不变。「整数和分母约分」
2、分数与分数相乘：用分子相乘的积做分子，分母相乘的积做分母。注意：当带分数进行乘法计算时，要先把带分数化成假分数再进行计算。
3、为了计算简便，能约分的要先约分，再计算。（尽量约分，不会约分的就不约，常考的质因数有11×11=121；13×13=169；17×17=289；19×19=361）
4、小数乘分数，可以先把小数化为分数，也可以把分数化成小数再计算（建议把小数化分数再计算）。
「三」、乘法中比较大小的规律
一个数「0除外」乘大于1的数，积大于这个数。
一个数「0除外」乘小于1的数「0除外」，积小于这个数。
一个数「0除外」乘1，积等于这个数。
「四」、分数混合运算的运算顺序和整数的运算顺序相同。整数乘法的交换律、结合律和分配律，对于分数乘法也同样适用。
乘法交换律：a × b = b × a
乘法结合律：「 a × b 」×c = a × 「 b × c 」
乘法分配律：「 a + b 」×c = a c + b c
二、分数乘法的解决问题「已知单位“1”的量「用乘法」，即求单位“1”的几分之几是多少」
1、画线段图：「1」两个量的关系：画两条线段图，先画单位一的量，注意两条线段的左边要对齐。「2」部分和整体的关系：画一条线段图。
2、找单位“1”：单位“1”在分率句中分率的前面；或在“占”、“是”、“比”“相当于”的后面。
3、写数量关系式的技巧：
「1」“的”相当于“×”，“占”、“相当于”“是”、“比”是“ = ”
「2」分率前是“的”字：用单位“1”的量×分率=具体量
例如：甲数是20，甲数的是多少？列式是：20×
4、看分率前有没有多或少的问题；分率前是“多或少”的关系式：
（比少）：单位“1”的量×「1-分率」=具体量；
例如：甲数是50，乙数比甲数少，乙数是多少？列式是：50×（1-）
（比多）：单位“1”的量×「1+分率」=具体量
例如：小红有30元钱，小明比小红多，小红有多少钱？列式是：50×（1+）
3、求一个数的几倍是多少：用一个数×几倍；
4、求一个数的几分之几是多少：用一个数×几分之几。
5、求几个几分之几是多少：用几分之几×个数
6、求已知一个部分量是总量的几分之几，求另一个部分量的方法：
「1」、单位“1”的量×「1-分率」=另一个部分量（建议用）
「2」、单位“1”的量-已知占单位“1”的几分之几的部分量=要求的部分量
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一、确定物体位置的方法：
1、先找观测点；
2、再定方向（看方向夹角的度数）；
3、最后确定距离（看比例尺）
二、描绘路线图的关键是选好观测点，建立方向标，确定方向和路程。
三、位置关系的相对性：
两地的位置具有相对性在叙述两地的位置关系时，观测点不同，叙述的方向正好相反，而度数和距离正好相等。
四、相对位置：东--西；南--北；南偏东--北偏西。
第三单元分数除法
1、倒数的意义：乘积是1的两个数互为倒数。
强调：互为倒数，即倒数是两个数的关系，它们互相依存，倒数不能单独存在。 「要说清谁是谁的倒数」。
2、求倒数的方法：
「1」、求分数的倒数：交换分子分母的位置。
「2」、求整数的`倒数：把整数看做分母是1的分数，再交换分子分母的位置。
「3」、求带分数的倒数：把带分数化为假分数，再求倒数。
「4」、求小数的倒数：把小数化为分数，再求倒数。
3、1的倒数是1；因为1×1=1；0没有倒数，因为0乘任何数都得0，「分母不能为0」 X k B 1 . c o m
4、真分数的倒数大于1;假分数的倒数小于或等于1;带分数的倒数小于1。
5、运用，a×=b×求a和b是多少。把a×=b×看成等于1,也就是求的倒数和求的倒数。
1、分数除法的意义：
乘法：因数×因数=积
除法：积÷一个因数=另一个因数
分数除法与整数除法的意义相同，表示已知两个因数的积和其中一个因数，求另一个因数的运算。
例如：÷意义是：已知两个因数的积是与其中一个因数，求另一个因数的运算。
2、分数除法的计算法则：
除以一个不为0的数，等于乘这个数的倒数。
3、分数除法比较大小时的规律：
「1」当除数大于1，商小于被除数;
「2」当除数小于1「不等于0」，商大于被除数;
「3」当除数等于1，商等于被除数。
“[ ]”叫做中括号。一个算式里，如果既有小括号，又有中括号，要先算小括号里面的，再算中括号里面的。
二、分数除法解决问题
1，解法：「1」方程：根据数量关系式设未知量为X，用方程解答。
解：设未知量为X（一定要解设）,再列方程用X×分率=具体量
例如：公鸡有20只，是母鸡只数的，母鸡有多少只。（单位一是母鸡只数，单位一未知.）解：设母鸡有X只。列方程为：X×=20
「2」算术「用除法」：单位“1”的量未知用除法：
即已知单位“1”的几分之几是多少，求单位“1”的量。
分率对应量÷对应分率=单位“1”的量
例如：公鸡有20只，是母鸡只数的，母鸡有多少只。（单位一是母鸡只数，单位一未知，）用除法，列式是：20÷
2、看分率前有没有比多或比少的问题；
分率前是“多或少”的关系式：
（比少）：具体量÷ 「1-分率」=单位“1”的量；
例如:桃树有50棵，比苹果树少，苹果树有多少棵。
列式是：50÷（1-）
（比多）：具体量÷ 「1+分率」=单位“1”的量
例如:一种商品现在是80元，比原价增加了，原价多少？
列式是：80÷（1+）
3、求一个数是另一个数的几分之几是多少：用一个数除以另一个数，结果写为分数形式。
例如:男生有20人，女生有15人，女生人数占男生人数的几分之几。
列式是：15÷20==
4、求一个数比另一个数多几分之几的方法：X k B 1 . c o m
用两个数的相差量÷单位“1”的量=分数
即①求一个数比另一个数多几分之几：用（大数–小数）÷另一个数（比那个数就除以那个数），结果写为分数形式。
例如：5比3多几分之几？（5－3）÷3=
②求一个数比另一个数少几分之几：用（大数–小数）÷另一个数（比那个数就除以那个数），结果写为分数形式。
例如：3比5少几分之几？（5－3）÷5=说明：多几分之几不等于少几分之几，因为单位一不同。
5、工程问题：把工作总量看作单位“1”，合做多长时间完成一项工程用1÷效率和，即1÷（1/时间+1/时间），（工作效率=1/时间）
例如：一项工程甲单独做要5天完成，乙单独做要10天完成，甲单独做要3天完成，三人合做几天可以完成？列式：1÷（++）
第四单元比
「一」、比的意义
1、比的意义：两个数相除又叫做两个数的比。
元旦班会演讲稿
2、在两个数的比中，比号前面的数叫做比的前项，比号后面的数叫做比的后项。比的前项除以后项所得的商，叫做比值。
例如15：10 = 15÷10= 「比值通常用分数表示，也可以用小数或整数表示」
15 ∶ 10＝
前项比号后项比值
3、比可以表示两个相同量的关系，即倍数关系。例：长是宽的几倍。
也可以表示两个不同量的比，得到一个新量。例：路程÷速度=时间。
4、区分比和比值
比：表示两个数的关系，可以写成比的形式，也可以用分数表示。
比值：相当于商，是一个数，可以是整数，分数，也可以是小数。
5、根据分数与除法的关系，两个数的比也可以写成分数形式。
6、比和除法、分数的联系：
比
前项
比号“：”
后项
比值
除法
被除数
除号“÷”
除数
商
分数
分子
分数线“—”
分母
分数值
7、比和除法、分数的区别：除法是一种运算，分数是一个数，比表示两个数的关系。
8、根据比与除法、分数的关系，可以理解比的后项不能为0。
9、体育比赛中出现两队的分是2：0等，这只是一种记分的形式，不表示两个数相除的关系。
10、求比值：用前项除以后项，结果最好是写为分数（不会约分的就不约分）
例如：15∶ 10＝15÷10＝＝
「二」、比的基本性质
1、根据比、除法、分数的关系：
商不变的性质：被除数和除数同时乘或除以相同的数「0除外」，商不变。
分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数时「0除外」，分数值不变。
比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数「0除外」，比值不变。
2、最简整数比：比的前项和后项都是整数，并且是互质数，这样的比就是最简整数比。
3、根据比的基本性质，可以把比化成最简单的整数比。
4.化简比：
「2」用求比值的方法。注意：最后结果要写成比的形式。
例如：15∶10 = 15÷10 =＝= 3∶2
还可以15∶10 = 15÷10 =最简整数比是3∶2
5、比中有单位的，化简和求比值时要把单位化相同再化简和求比值，结果没有单位。
6.按比例分配：把一个数量按照一定的比来进行分配。这种方法通常叫做按比例分配。一般有两种解题法
１，用分率解:按比例分配通常把总量看作单位一，即转化成分率。要先求出总份数，再求出几份占总份数的几分之几，最后再用总量分别乘几分之几。
例如：有糖水25克，糖和水的比为1:4，糖和水分别有几克？
1+4=5糖占用25×得到糖的数量，水占用25×得到水的数量。
2，用份数解：要先求出总份数，再求出每一份是多少，最后分别求出几份是多少。
例如：有糖水25克，糖和水的比为1:4，糖和水分别有几克？
糖和水的份数一共有1+4=5一份就是25÷5=5糖有1份就是5×1水有4分就是5×4
第五单元圆的认识
一、认识圆形
1、圆的定义：圆是由曲线围成的一种平面图形。
2、圆心：将一张圆形纸片对折两次，折痕相交于圆中心的一点，这一点叫做圆心。一般用字母O表示。它到圆上任意一点的距离都相等.
3、半径：连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。一般用字母r表示。把圆规两脚分开，两脚之间的距离就是圆的半径。
4、直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。一般用字母d表示。直径是一个圆内最长的线段。
5、圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。
6、在同一个圆内或等圆内，有无数条半径，有无数条直径。所有的半径都相等，所有的接近长方形。长方形的长相当于圆的周长的一半，长方形的宽相当于圆的半径。
「2」拼出的图形与圆的周长和半径的关系。
圆的半径=长方形的宽
圆的周长的一半=长方形的长
3、圆面积的计算方法：因为：长方形面积=长×宽
所以：圆的面积=圆周长的一半×圆的半径
即S圆=Ｃ÷2× r＝πr × r＝πr
圆的面积公式：S圆=πr → r= S圆÷ π
4、环形的面积：一个环形，外圆的半径用字母R表示，内圆的半径用字母r表示。「R=r+环的宽度.」
S环= πR-πr或环形的面积公式：S环= π「R-r」（建议用这个公式）。
5、一个圆，半径扩大或缩小多少倍，直径和周长也扩大或缩小相同的倍数。而面积扩大或缩小的倍数是这倍数的平方倍。
例如：在同一个圆里，半径扩大3倍，那么直径和周长就都扩大3倍，而面积扩大3的平方倍得到9倍。
6、两个圆：半径比=直径比=周长比；而面积比等于这比的平方。
例如：两个圆的半径比是2∶3，那么这两个圆的直径比和周长比都是2∶3，而面积比是4∶9
7、任意一个正方形与它内切圆的面积之比都是一个固定值，即：4∶π
8、当长方形，正方形，圆的周长相等时，圆面积最大，正方形居中，长方形面积最小。反之，面积相同时，长方形的周长最长，正方形居中，圆的周长最短。
9、常用各π值结果：π = 3.14；2π = 6.28；5π=15.7
10、外方内圆（内切圆）公式S=0.86r推导过程：S=S正-S圆=d-πr=2r×2r-πr=4r-πr=r×「4-π」=0.86r
11、外圆内方（外切圆）公式S=1.14r推导过程：S=S圆-S正=πr-dr/2×2=2r×r/2×r=πr-2r=r×「π-2」=1.14r（把正方形看成两个面积相等的三角形，三角形的底就是直径，高是半径）
12、一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。顶点在圆心的角叫做圆心角。扇形的面积与圆心角大小和半径长短有关。
13、S扇=S圆×n/360；S扇环=S环×n/360
14、扇形也是轴对称图形，有一条对称轴。
15、常见半径与直径的周长和面积的结果。
半径
半径的平方
直径
周长
面积
1
1
2
6.28
3.14
2
4
4
12.56
12.56
3
9
6
18.84
28.26
4
16
8
25.12
50.24
5
25
10
31.4
78.5
6
36
12
37.68
113.04
7
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大学期末评语简短100个
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43.96
153.86
8
64
16
50.24
200.96
9
81
18
56.52
254.34
10
100
20
62.8
314
1.5
2.25
3
9.42
7.065
2.5
6.25
5
15.7
19.625
3.5
12.25
7
21.98
38.465
4.5
20.35
9
28.26
63.585
5.5
30.25
11
34.54
94.985
7.5
56.25
15
47.1
176.625
六年级数学上各单元知识点3
第六单元百分数
一、百分数的意义和写法
（一）、百分数的意义：表示一个数是另一个数的百分之几。百分数是指的两个数的比，因此也叫百分率或百分比。
（二）、百分数和分数的主要联系与区别：
联系：都可以表示两个量的倍比关系。
区别：①、意义不同：百分数只表示两个数的倍比关系，不能表示具体的数量，所以不能带单位;
分数既可以表示具体的数，又可以表示两个数的关系，表示具体数时可以带单位。
②、百分数的分子可以是整数，也可以是小数;
分数的分子不能是小数，只能是除0以外的自然数。
3、百分数的写法：通常不写成分数形式，而在原来分子后面加上“%”来表示，读作百分之。
二、百分数和分数、小数的互化
「一」百分数与小数的互化：
1、小数化成百分数：把小数点向右移动两位（数位不够用0补足），同时在后面添上百分号。
2.百分数化成小数：把小数点向左移动两位（数位不够用0补足），同时去掉百分号。
「二」百分数的和分数的互化
1、百分数化成分数：先把百分数改写成分母是100的分数，能约分要约成最简分数。
2、分数化成百分数：
①用分数的基本性质，把分数分母扩大或缩小成分母是100的分数，再写成百分数形式。
②先把分数化成小数「除不尽时，通常保留三位小数」，再把小数化成百分数。（建议用这种方法）
「三」常见分数小数百分数之间的互化；X K b1 .C om
三、用百分数解决问题
「一」一般应用题
1、常见的百分率的计算方法：
一般来讲，出勤率、成活率、合格率、正确率能达到100%，出米率、出油率达不到100%，完成率、增长了百分之几等可以超过100%。
2、求一个数是另一个数的百分之几用一个数除以另一个数，结果写为百分数形式。
例如：例如:男生有20人，女生有15人，女生人数占男生人数的百分之几。
列式是：15÷20==75﹪
3、已知单位“1”的量「用乘法」，求单位“1”的百分之几是多少的问题，数量关系式和分数乘法解决问题中的关系式相同：
「1」百分率前是“的”：单位“1”的量×百分率=百分率对应量
「2百分率前是“多或少”的数量关系：
单位“1”的量×「1±百分率」=百分率对应量
4、未知单位“1”的量「用除法」，已知单位“1”的百分之几是多少，求单位“1”。方法与分数的方法相同。
解法：「1」方程：根据数量关系式设未知量为X，用方程解答。
「2」算术「用除法」：百分率对应量÷对应百分率=单位“1”的量
5、求一个数比另一个数多「少」百分之几的方法与分数的方法相同。只是结果要写为百分数形式。看百分率前有没有比多或比少的问题；
百分率前是“多或少”的关系式：w W w . K b 1.c o M
（比少）：具体量÷ 「1-百分率」=单位“1”的量；
例如:大米有50千克，比面粉树少50﹪，面粉有多少千克。
列式是：50÷（1-50﹪）
（比多）：具体量÷ 「1+百分率」=单位“1”的量
例如:工人做110个零件，比原计划多做了10﹪，原计划做多少个？
列式是：110÷（1+10﹪）
6、求一个数比另一个数多百分之几的方法：方法与分数的方法相同。
用两个数的相差量÷单位“1”的量=百分之几
即①求一个数比另一个数多百分之几：用（大数–小数）÷另一个数（比那个数就除以那个数），结果写为百分数形式。
甲比乙多几分之几的问题，方法A，（甲-乙）÷乙（建议用）
方法B，甲÷乙-100﹪
例如：老师计划改40本作业，实际改了50本，实际比计划多改了百分之几？
列式是：（50－40）÷40=0.25=25﹪
②求一个数比另一个数少几分之几：用（大数–小数）÷另一个数（比那个数就除以那个数），结果写为百分数形式。
乙比甲少几分之几的问题，方法A,（甲-乙）÷甲（建议用）
方法B，100﹪-乙÷甲
例如：张三家用了100度电，李四家用了90度电，李四家比张三家少用百分之几？
（100－90）÷100=0.1=10﹪
说明：多百分之几不等于少百分之几，因为单位一不同。
7、如果甲比乙多或少a﹪，求乙比甲少或多百分之几，用a﹪÷（1±a﹪）
8、求价格先降a﹪又上升a﹪后的价格：1×（1-a﹪）×（1+a﹪）（假设原来的价格为“1”。求变化幅度（求降价后的价格是涨价后价格的百分之几）用1-降价后又上升的百分率。
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